咱们先想个事儿，那会儿咱们跟复数似的，认定那是数学家里挺爷们儿的东西，戴着高帽，拿着外套，专门讲点虚夸事儿。
那可不是确实。
实际上啊，复数这东西，最早是从编号跑出来的。 你想想，0、1、2、3……这是自然数列，没啥难题。
那要是遇到 0.5 呢？0.5 不是整数，对吧？不能扔在那儿不管。早期的数学家，为了凑整数，就把它给“二重”了，变成了"0.50"。为了凑整，又给前面加了个零头，变成了"0.500"。
直到后来，为了把小数点那个位置算得更清楚，就把"0.500"六个 0 全删了，直接变成"0.5"。
这时候复数就出来了。它只是在编号里多画了一个点，一个虚线。
那时候的数学家才意识到，原来那个点，才是数活用的关键。 后来啊，这些虚线被分成了两类。一类是纯虚数，就是那个点正对着 y 轴，跟 x 轴正对，互相垂直，互相独立。另一类是复数，就是那个点斜着站在第一象限，跟 x 轴形成了个角，它没法单独存有，务必得跟一个实数搭档才能活。 这就是复数的由来，好办粗暴，没毛病。 那复数到底是个啥？它就是个平面坐标系里的点。你坐在原点，旁边站着个实数代表 x 轴，再旁边站个虚数代表 y 轴。复数就是那个站在斜对角位置的点。
你看，x 轴和 y 轴就像两把尺子，一把量长度，一把量角度。数学家拿这把尺子，把 y 轴上的虚数量出来，直接画在平面里。
这就构成了一个直角坐标系。复数就是个点，这个点的位置由两个坐标共同拍板。 咱们得承认，复数这东西，长得挺丑。它是个点，也是个角，也是个坐标。它不像正数，正数是个整数，像个完美的方块，规规矩矩。复数是个点，你得给个方向，给个角度，还得给个长度，才能把它描述清楚。 你看啊，复数的威力，主要体目前它能把几何图形和代数运算完美地扯在一起。
这是实数干不到的事。
比方说，你要算个圆的面积，圆是实数能处理，但面积是个复杂的几何形状，要是用实数算，那得多费事。但在复数眼里，圆就是个完美的点。你只要设定圆心在零点，半径是 R，那这个圆在复数里就是所有距离零点为 R 的点。 这就挺有意思了。你不用去推导圆的面积公式，也不用去背那些乱七八糟的积分。你只需求拿个圆规，在平面上画个图。圆心在零点，半径是 R，那你画出来的这个圆，在复数里不就自动拥有了面积吗？这个面积，不就是半径乘以半径再除以二吗？圆的公式，在复数眼里，就是如此好办。 并且，复数还能把圆分成几段等长的弧。你有无数个圆，圆心在零点，半径都是 R。
这些圆心串起来，不就是个大圆吗？那每一个这样的圆，它被分成几段等长的弧呢？这得看角度。
这个角度，就是圆心角。在复数里，角度就是个实数，你越把角度转得越大，你转过的弧就越长。 这就叫复数能干啥。它能把几何上的“圆周”还原成代数上的“角度”。它能把独立的实数和独立的虚数，合成一个能表示位置的点。 更扯淡的是，复数还能把平行线变成相交线。在实数里，两个斜率不同的直线，一辈子不相交。但在复数里，只要给它们加个角度，让它们相交于原点，它们就能够完美地交于一点。 你看这平行线，本来是平行，互不相交。目前你在它们之间挖个洞，让复数把它们合成一个点。
这就叫“把平面上的点，通过复数的运算，合成一个点”。
这听起来有点玄乎，但就是如此好办。 那复数还能干嘛？还能干啥？能干嘛。 咱们再看看复数的运算。加法，减法，乘法，除法，全靠这个点去操作。加法，就是把两个点拼起来；减法，就是把一个点移另一个点的位置；乘法，就是把一个点放大，要么旋转；除法，就是把一个点缩小，要么反向旋转。 你看复数的乘法，就像是要把两个点合成一个点。你拿两个向量，一个代表实数，一个代表虚数，把它们合成一个点。
这个新点，就是复数的结局。 在复数眼里，乘法还有一个挺酷的用法。你拿一个点，给它乘以另一个点。
这个新点，实际上就是原来的那个点，绕着原点转了一圈，转了多少圈，取决于你乘的那个数。
这叫“旋转”。 你看啊，要是我要算一个圆周，我就让那个点转 360 度。
要是我要算一个半圆，我就让那个点转 180 度。
只要旋转的角度对了，这个点的位置就对了。 复数还能干嘛？还能干嘛。 它还能把无理数变成有理数。
你看，$sqrt{2}$ 是个无理数，它在平面上是个斜线。你要把这条斜线变成有理数，你就得找到它的终点，给它画个虚线，让它跟 x 轴垂直。一旦这样一画，这个斜线就垂直了，它就是一个直角三角形的直角边。有了这条直角边，再结合 x 轴，这个无理数就变成了一条边长为 2 的线段，是个有理数了。 这听起来有点怪，但就是如此好办。在复数里，无理数变成了有理数，出于它们都变成了一条边，要么一个角，要么一个点。 复数还能干嘛？还能把向量变成实数。 你在平面上画个向量，这是个箭头。它有长度，有角度。你在复数里，如何把箭头变成实数？你就得跟那个向量合成一个点。
这个合成的点，就是实数。 你看，这个点的位置，由 x 轴和 y 轴共同拍板。x 轴代表实数，y 轴代表虚数。
这个点的坐标，就是复数。
这个点，就是那个实数。 故此，你平面上画的箭头，复数把它变成了一个点。
这个点的位置，就是复数。 那复数还能干嘛？还能把向量变成向量。 你在平面上画个向量，这是个箭头。它在复数里，如何变成另一个向量？它就还是那个向量。 你看，这个向量，依然有长度，依然有角度。它在复数里，依然是一个点。 故此，在复数里，向量变成了点。
这个点，就是复数。 复数还能干嘛？还能把点变回向量。 你在平面上画个点，这是复数。它在复数里，如何变回另一个点？它还是这个点。 你看，这个点，依然有位置，依然有方向。它在复数里，依然是一个向量。 故此，在复数里，点变成了向量。
这个向量，就是复数。 这就是复数。一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。 复数这东西，就像是一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。它就是那个点，那个角，那个坐标，那个向量，那个集合，那个集合的集合。 它就是如此一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。 它就是如此一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。 复数这东西，就像是一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。它就是那个点，那个角，那个坐标，那个向量，那个集合，那个集合的集合。 它就是如此一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。 它就是如此一个点，一个角，一个坐标，一个向量，一个集合，一个集合的集合。